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2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学 (理科)
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合 ， ，则 （ ）
（A）｛0,1，2｝ （B）｛－1,0，1,2｝（C）｛－1,0，2,3｝ （D）｛0,1，2,3｝
【答案】A
【解析】因为 ， ,所以 ，选A.
2、设复数 满足 则 ＝（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】 ，所以选A.
3、等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 ＝（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
4、已知 ， 为异面直线， ⊥平面 ， ⊥平面 ，直线 满足 ⊥ ， ⊥ ， ， ，则（ ）
（A） ∥ 且 ∥ （B） ⊥ 且 ⊥
（C） 与 相交，且交线垂直于 （D） 与 相交，且交线平行于
【答案】D
5、已知 的展开式中 的系数是5，则 ＝（ ）
（A） －4 （B） －3 （C）－2 （D）－1
【答案】D
6、执行右面的程序框图，如果输入的 ，那么输出的 （ ）
【答案】B
【解析】第一次循环， ；第二次循环， ；第三次循环， ，第四次循环， ，依此类推，选B.
7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ， ， ， ，画该四面体三视图中的正视图时，以 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体 的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.
8、设 ， ， ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
9、已知 ＞0， 满足约束条件 ， 若 ＋ 的最小值是1，则 ＝（ ）
（A） （B） （C）1 （D）2
【答案】B
10、已知函数 ，下列结论中错误的是（ ）
（A） ，
（B）函数 的图象是中心对称图形
（C）若 是 的极小值点，则 在区间 单调递减
（D）若 是 的极值点，则
【答案】C
【解析】若 则有 ，所以A正确。由 得 ，因为函数 的对称中心为（0,0），所以 的对称中心为 ,所以B正确。由三次函数的图象可知，若 是f(x)的极小值点，则极大值点在 的左侧，所以函数在区间（-∞, ）单调递减是错误的，D正确。选C.
11、设抛物线 的焦点为 ，点M在C上，｜MF｜＝5，若以MF为直径的圆过点（0,2），则C的方程为（ ）
（A） 或 （B） 或
（C） 或 （D） 或
【答案】C
12、已知A（－1,0），B（1,0），C（0,1），直线 将△ABC分割为面积相等的两部分，则 的取值范围是（ ）
（A）（0,1） （B） （C） （D）
【答案】B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知正方形 的边长为 ， 为 的中点，则 _______。
【答案】
【解析】在正方形中， , ,所以 。
（14）从 个正整数 ，…， 中任意取出两个不同的数，若其和为 的概率是 ，则 ＝ 。
【答案】8
【解析】取出的两数之和等于5的概率为 ， ＝8。
（15）设 为第二象限角，若 ，则 。
【答案】
（16）等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的最小值为 。
【答案】－49
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
△ABC的内角的对边分别为 已知
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若 ＝2，求△ABC的面积的最大值。
（18）如图，直三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点。 AB
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值。
（19）（本小题满分12分）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 该产品获利润 元，未售出的产品，每 亏损 元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了 该农产品。以 （单位： ， ）表示下一个销售季度内的市场需求量， （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
（Ⅰ）将 表示为 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 ，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入 的T的数学期望。
（20）（本小题满分12分）
平面直角坐标系 中，过椭圆M： 右焦点的直线 交M于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 。
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C、D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值。
（21）（本小题满分12分）
已知函数 。
（Ⅰ）设 是 的极值点，求 并讨论 的单调性；
（Ⅱ）当 时，证明 ＞0。
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
如图， 为 外接圆的切线， 的延长线交直线 于点 ， 、 分别为弦 与弦 上的点，且 ， 、 、 、 四点共圆。
（Ⅰ）证明： 是 外接圆的直径；
（Ⅱ）若 ，求过 、 、 、 四点的圆的面积与 外接圆面积的比值。
（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程
已知动点 都在曲线 （ 为参数）上，对应参数分别为 与 （ ）， 为 的中点。
（Ⅰ）求 的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将 到坐标原点的距离 表示为 的函数，并判断 的轨迹是否过坐标原点。
（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲
设 均为正数，且 ，证明：
（Ⅰ） ；（Ⅱ）
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