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绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I卷)
数学(理科)
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
（1）已知集合 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
（2）若复数 满足
（A） （B） （C）4 （D）
（3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
（A）简单的随机抽样 （B）按性别分层抽样
（C）按学段分层抽样 （D）系统抽样
（4）已知双曲线 ： 的离心率为 ，则 的渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
（5）执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 属于
（A） （B） （C） （D）
（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如不计容器的厚度，则球的体积为
（A） （B）
（C） （D）
（7）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）设 为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为 ， 展开式的二项式系数的最大值为 ，若 ，则 ＝
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
（10）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 、 两点。若 的中点坐标为 ，则 的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（11）已知函数 ，若 ，则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（12）设 的三边长分别为 , , ， 的面积为 ， ……
若 ＞ ， ， ， ， ，则
（A） 为递减数列
（B） 为递增数列
（C） 为递增数列， 为递减数列
（D） 为递减数列， 为递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）已知两个单位向量 ， 的夹角为60°， .若 =0，则
=____________.
（14）若数列 的前 项和为 ，则数列 的通项公式是 =____________.
（15）设当 时，函数 取得最大值，则 =____________.
（16）若函数 的图像关于直线 对称，则 的最大值
为____________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
如图，在 中， ＝90°， ， ，
为 内一点， ＝90°
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若 ＝150°，求 .
（18）（本小题满分12分）
如图，三棱柱 中， ， ， =60°.
（Ⅰ）证明 ⊥ ;
（Ⅱ）若平面 ⊥平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值。
（19）（本小题满分12分）
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为 .如果 ，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 ，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立.
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 （单位：元），求 的分布列及数学期望。
（20）（本小题满分12分）
已知圆 ： ，圆 ： ，动圆 与圆 外切并与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线 .
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ） 是与圆 ，圆 都相切的一条直线， 与曲线 交于 ， 两点，当圆 的半径最长时，求 .
（21）（本小题满分12分）
已知函数 ， 若曲线 和曲线 都过点 ，且在点 处有相同的切线 .
（Ⅰ）求 ， ， ， 的值；
（Ⅱ）若 －2时， ，求 的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，直线 为圆的切线，切点为 ，点 在圆上，∠ 的角平分线 交圆于点 ， 垂直 交圆于 .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）设圆的半径为1， ，延长 交 于点 ，求 外接圆的半径.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程式 （ 为参数），以坐标原点为极点，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）把 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求 与 交点的极坐标（ , ）
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数 ， .
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）设 ，且当 时， ，求 的取值范围.
2013年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案
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