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2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设集合
（A） （B）
（C）
（D）
2．已知 是第二象限角，
（A） （B）
（C）
（D）
3．已知向量
（A） （B）
（C）
（D）
4．不等式
（A） （B）
（C）
（D）
5．
（A） （B）
（C）
（D）
6．函数
（A） （B）
（C）
（D）
7．已知数列 满足
（A） （B）
（C）
（D）
8．已知 且
则
的方程为
（A） （B）
（C）
（D）
9．若函数
（A） （B）
（C）
（D）
10．已知曲线
（A） （B）
（C）
（D）
11．已知正四棱锥 的正弦值等于
（A） （B）
（C）
（D）
12．已知抛物线 与点
，过
的焦点且斜率为
的直线与
交于
两点，若
，则
（A） （B）
（C）
（D）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．设 .
14．从进入决赛的 名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）
15．若 满足约束条件
则
.
16．已知圆 和圆
是球
的大圆和小圆，其公共弦长等于球
的半径，
则球
的表面积等于 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分）
等差数列 中，
（I）求 的通项公式；
（II）设
18．（本小题满分12分）设 的内角
的对边分别为
，
。
（I）求
（II）若 ，求
。
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥 都是边长为
的等边三角形.
（I）证明： （II）求点
20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 各局比赛的结果都相互独立，第
局甲当裁判.
（I）求第 局甲当裁判的概率；
（II）求前 局中乙恰好当
次裁判概率.
21．（本小题满分12分）已知函数
（I）求 ；
（II）若
22．（本小题满分12分）
已知双曲线 离心率为
直线
（I）求 ；
（II） 证明：
成等比数列
参考答案
一、选择题
1．B 2. A 3. B 4. D 5. C 6. A 7. C 8. C 9. B 10. D 11. A 12. D
13. -1 14. 60 15. 0 16.
17． （Ⅰ）设等差数列 的公差为d，则
因为 ，所以
.
解得， .
所以 的通项公式为
.
（Ⅱ） ，
所以 .
18.（Ⅰ）因为 ，所以
.
由余弦定理得， ，
因此， .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以
，
故 或
，
因此， 或
.
19. （Ⅰ）证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形.
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.
连结OA，OB,OD,OE.
由 和
都是等边三角形知PA=PB=PD，
所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，
故 ，从而
.
因为O是BD的中点，E是BC的中点，
所以OE//CD.因此， .
（Ⅱ）解：取PD的中点F，连结OF，则OF//PB.
由（Ⅰ）知， ，故
.
又 ，
，
故 为等腰三角形，因此，
.
又 ，所以
平面PCD.
因为AE//CD， 平面PCD，
平面PCD，所以AE//平面PCD.
因此，O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而 ，
所以A至平面PCD的距离为1.
20. （Ⅰ）记 表示事件“第2局结果为甲胜”，
表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”.
则 .
.
（Ⅱ）记 表示事件“第1局结果为乙胜”，
表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，
表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，
B表示事件“前4局中恰好当1次裁判”.
则 .
.
21. （Ⅰ）当 时，
.
令 ，得，
，
.
当 时，
，
在
是增函数；
当 时，
，
在
是减函数；
当 时，
，
在
是增函数；
（Ⅱ）由 得，
.
当 ，
时，
，
所以 在
是增函数，于是当
时，
.
综上，a的取值范围是 .
22. （Ⅰ）由题设知 ，即
，故
.
所以C的方程为 .
将y=2代入上式，求得， .
由题设知， ，解得，
.
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
，C的方程为
. ①
由题意可设 的方程为
，
，代入①并化简得，
.
设 ，
，则
，
，
，
.
于是
，
由 得，
，即
.
故 ，解得
，从而
.
由于 ，
，
故 ，
.
因而 ，所以
、
、
成等比数列.
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